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”即便它再像一个能筛的函数，也要先推它的定义式“。——未来哲学家yxy
若 x = ∏ p i e i x =\prod p_i^{e_i} x=∏piei
f ( x ) = ∏ p i ⌊ e i / 2 ⌋ = x ∏ p i ⌈ e i / 2 ⌉ = ∑ j = 1 x [ ∏ i = 1 k p i ⌈ e i / 2 ⌉ ∣ j ] = ∑ j = 1 x [ x ∣ j 2 ] \begin{aligned} f(x) &=\prod p_i^{\lfloor e^i/2\rfloor} \\ &=\frac{x}{\prod p_i^{\lceil e^i/2\rceil}} \\ &=\sum_{j=1}^{x}[\prod_{i=1}^kp_i^{\lceil e^i/2\rceil}|j] \\ &=\sum_{j=1}^x[x|j^2] \end{aligned} f(x)=∏pi⌊ei/2⌋=∏pi⌈ei/2⌉x=j=1∑x[i=1∏kpi⌈ei/2⌉∣j]=j=1∑x[x∣j2] 第二部到第三步用了的除法的定义 a b = ∑ i = 1 a [ b ∣ i ] \frac{a}{b}=\sum_{i=1}^a[b|i] ba=∑i=1a[b∣i] ，意思是 a a a 里面有多少个 b b b 的倍数。最后一步意思是当 a ∣ b a|b a∣b ，当且仅当 a 2 ∣ b 2 a^2|b^2 a2∣b2 （就**离谱。
考虑求前缀和，我们知道 f ( x ) f(x) f(x) 是积性函数，且 f ( p ) = 1 , p ∈ P r i m e f(p)=1,p\in Prime f(p)=1,p∈Prime 。
powerful number筛，结束。
#include#define N 3200006using namespace std;typedef unsigned long long ll;ll n,sqr,pri[N],tot,ans;bool tag[N];void init(){ sqr=sqrt(1e13); for(ll i=2;i<=sqr;i++){ if(!tag[i]) pri[++tot]=i; for(int j=1;pri[j]*i<=sqr;j++){ tag[pri[j]*i]=1; if(i%pri[j]==0)break; } }}void solve(int pos,ll now,ll lst){ ll lim=n/now; if(pos==tot+1||now*pri[pos]>n||now*pri[pos]*pri[pos]>n){ ans+=lst*(n/now); return; } ll p=pri[pos],nxt=1,pp=1; bool h=1; solve(pos+1,now,lst); while(1){ if(nxt*p>lim)break;nxt*=p; if(nxt*p>lim)break;nxt*=p; if(h)lst*=p-1,h=0; else lst*=p; solve(pos+1,nxt*now,lst); }}int main(){ int T; cin>>T; init(); while(T--){ cin>>n; solve(1,1,1); cout< <<'\n'; ans=0; }}
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